Números e operações
Matemática · 6º ano · 1º Bimestre · BNCC EF06MA01, EF06MA02, EF06MA03
neuren
Apostila · Ensino Fundamental
Números e
operações
Matemática · 6º ano · 1º Bimestre
EGÍPCIO
∩∩ | | |
2 dezenas + 3 unidades
ROMANO
X X I I I
soma de símbolos
INDO-ARÁBICO
só 2 símbolos
a posição carrega o valor
e existe o zero
Capítulos 3
Leitura ~90 min
Questões 18
BNCC EF06MA01–03
O que você vai aprender
Abertura do bimestre
Dez símbolos para tudo que existe
Você usa dez símbolos — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — e com eles escreve qualquer quantidade. Três mil. Dois bilhões. A distância até o Sol em quilômetros. Dez símbolos dão conta de tudo.
Isso não é óbvio nem natural. É uma invenção construída ao longo de milênios, e várias civilizações tentaram caminhos diferentes antes. Entender por que este sistema venceu é entender como ele funciona por dentro — e é isso que faz a diferença entre calcular com compreensão e calcular de cor.
O caminho do bimestre
Capítulo Do que trata Habilidade
Como a humanidade aprendeu a contar — de pedrinhas ao zero
EF06MA02
O sistema decimal por dentro — posição, ordens, reta numérica
EF06MA01
EF06MA02
Operar com números naturais — sentido, expressões, potências
EF06MA03
Como usar este livro
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O problema do pastor
Capítulo 1 · Como a humanidade aprendeu a contar
O problema do pastor
Imagine um pastor, há milhares de anos, antes de existir qualquer número escrito. Ele precisa saber se todas as ovelhas voltaram do pasto.
Ele não sabe contar — a palavra "trinta e sete" ainda não existe. Mas resolve o problema assim: de manhã, cada ovelha que sai ganha uma pedrinha no saco. À tarde, cada ovelha que volta tira uma pedrinha. Se sobrar pedrinha, faltou ovelha.
Isso chama-se correspondência um a um , e é a raiz de tudo o que veio depois. Repare: ele resolveu o problema sem números .
O problema seguinte: pedrinhas demais
Funciona bem com dez ovelhas. Com trezentas, o saco fica impraticável — e conferir uma a uma leva a tarde inteira. A saída foi agrupar : em vez de trezentas pedrinhas soltas, uma pedra maior para cada dez pequenas.
3 grupos de 10 + 7 soltas = 37 Agrupando de dez em dez, 37 pedrinhas viram 3 grupos e 7 soltas.
Veja o que aconteceu: em vez de guardar 37 objetos, guardamos dois números pequenos — quantos grupos (3) e quantas sobraram (7). Escrever "37" é exatamente registrar isso.
A ideia central do capítulo
Todo sistema de numeração responde à mesma pergunta: como representar quantidades grandes usando poucos símbolos? A resposta sempre passa por agrupar. O que muda de povo para povo é de quanto em quanto se agrupa e como se registra o resultado.
Egito e Mesopotâmia
Capítulo 1 · Como a humanidade aprendeu a contar
Os primeiros registros escritos
Egito: um símbolo para cada agrupamento
Os egípcios criaram um símbolo para 1 (um traço), outro para 10 (uma alça), outro para 100, e assim por diante, sempre multiplicando por dez. Para escrever um número, repetiam os símbolos e somavam.
Para 23: duas alças e três traços. Simples de entender — qualquer pessoa aprende em minutos.
O limite do sistema
Escrever 9.999 exigiria 36 símbolos : nove de mil, nove de cem, nove de dez e nove de um. O sistema funciona, mas não escala.
Mesopotâmia: agrupar de sessenta em sessenta
Os babilônios agrupavam em base 60 . Parece estranho, mas 60 tem uma vantagem prática enorme: é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30. Repartir fica fácil sem precisar de frações.
E essa escolha continua na sua vida hoje :
1 hora tem 60 minutos; 1 minuto tem 60 segundos.
Uma volta completa tem 360 graus (6 × 60).
Quando você olha o relógio, está usando um sistema mesopotâmico de quatro mil anos.
Repare
Os babilônios foram os primeiros a usar a posição para indicar valor — a ideia que mais tarde tornaria nosso sistema poderoso. Faltava-lhes, porém, um símbolo claro para "casa vazia", e isso gerava ambiguidades na leitura.
Roma e o cálculo travado
Capítulo 1 · Como a humanidade aprendeu a contar
Roma: elegante para ler, péssimo para calcular
Os romanos usaram sete letras, cada uma com valor fixo:
Símbolo I V X L C D M
Valor
100
500
1.000
A regra da subtração
Um símbolo menor antes de um maior indica subtração; depois, adição.
IV = 5 − 1 = 4 VI = 5 + 1 = 6
IX = 10 − 1 = 9 XI = 10 + 1 = 11
XL = 50 − 10 = 40 LX = 50 + 10 = 60
Com isso dá para escrever números grandes de forma compacta:
MCMXCIV
M = 1000
CM = 900 (1000 − 100)
XC = 90 (100 − 10)
IV = 4 (5 − 1)
─────
1994
Onde o sistema quebra
Tente multiplicar XXIII × VII sem converter para os nossos números. Não existe algoritmo — não há colunas para alinhar, não há "vai um", porque o valor de cada símbolo não depende de onde ele está.
Essa dificuldade teve consequências históricas reais: por séculos, na Europa, calcular era ofício de especialistas com ábaco. Comerciantes precisavam contratar quem soubesse contas.
A revolução do zero
Capítulo 1 · Como a humanidade aprendeu a contar
A ideia que mudou tudo: a posição carrega o valor
O sistema que usamos nasceu na Índia, entre os séculos V e VII, e chegou à Europa pelos matemáticos árabes — por isso se chama indo-arábico .
A ideia decisiva: o mesmo símbolo vale coisas diferentes conforme o lugar onde está .
EGÍPCIO
∩∩ | | |
2 dezenas + 3 unidades
ROMANO
X X I I I
soma de símbolos
INDO-ARÁBICO
só 2 símbolos
a posição carrega o valor
e existe o zero O mesmo 23 em três sistemas. Só o último permite calcular com facilidade.
A peça que faltava
Se a posição carrega o valor, é preciso um símbolo para dizer "esta casa existe, mas está vazia" . Sem ele, como distinguir 205 de 25?
2 0 5 → 2 centenas, 0 dezenas, 5 unidades
2 5 → 2 dezenas, 5 unidades
O zero não representa "nada" no sentido comum. Ele é um marcador de posição — e foi essa invenção que fez o sistema funcionar.
Por que isso importa para você
Com valor posicional, os algoritmos ficam possíveis: armar a conta em colunas, "vai um", "pede emprestado". Tudo o que você aprendeu a fazer com números depende dessa estrutura. Quando você "vai um" numa soma, está trocando dez unidades por uma dezena — exatamente o agrupamento do pastor.
Por que a base dez?
Capítulo 1 · Como a humanidade aprendeu a contar
Por que dez, e não outro número?
A resposta mais provável está nas suas mãos: temos dez dedos. A escolha é histórica e biológica , não matemática. Não há nada de especial no dez do ponto de vista da matemática.
Outras bases que sobreviveram
Base Onde aparece Por quê
Dúzia de ovos; 12 meses; 24 horas
12 é divisível por 2, 3, 4 e 6
Minutos, segundos, graus
Herança babilônica; muitos divisores
Maias; "quatre-vingts" (80) em francês
Dedos das mãos e dos pés
Computadores
Ligado / desligado
Um experimento mental
Se tivéssemos oito dedos, agruparíamos de oito em oito. O número que hoje chamamos de "dez" seria escrito 12 (um grupo de oito mais dois). A quantidade de ovelhas no pasto não mudaria — só a forma de registrá-la.
A distinção que vale guardar
Existe diferença entre a quantidade e a representação dela. Trinta e sete ovelhas são trinta e sete ovelhas, escreva-se 37, XXXVII ou ∩∩∩|||||||. Confundir as duas coisas é a origem de muita dificuldade em matemática.
Pratique — parte 1
Capítulo 1 · Prática
Pratique o que leu
Questão 1 básica
Um pastor guarda uma pedrinha para cada ovelha e agrupa de dez em dez. No fim do dia tem 5 grupos completos e 2 pedrinhas soltas. Quantas ovelhas ele tem?
7 ovelhas
52 ovelhas
25 ovelhas
502 ovelhas
52 ovelhas. Cada grupo vale 10, então 5 grupos são 50; somando as 2 soltas, 52. A opção 25 troca as posições — e trocar a ordem muda o valor, que é justamente o tema do capítulo 2.
Questão 2 básica
Qual número o algarismo romano XL representa?
410
40. O X (10) vem antes do L (50), então subtrai: 50 − 10 = 40. Se estivesse depois (LX) somaria, dando 60.
Questão 3 intermediária
Por que era tão difícil multiplicar usando algarismos romanos?
Porque os romanos desconheciam a multiplicação.
Porque faltavam símbolos para valores acima de mil.
Porque cada símbolo tem valor fixo, sem posição que organize o cálculo em colunas.
Porque os romanos escreviam da direita para a esquerda.
Cada símbolo tem valor fixo. Em XXIII, o valor de cada letra não depende de onde ela está. Sem valor posicional não há colunas para alinhar nem "vai um" — e é isso que torna nosso algoritmo de multiplicação possível.
Pratique — parte 2
Capítulo 1 · Prática
Pratique o que leu
Questão 4 intermediária
Qual afirmação explica melhor por que o zero foi essencial para o sistema indo-arábico?
Ele marca uma casa vazia, permitindo distinguir 205 de 25.
Ele permite representar quantidades negativas.
Ele substitui os símbolos romanos que faltavam.
Ele serve para arredondar números grandes.
Ele marca uma casa vazia. Num sistema em que o lugar determina o valor, é preciso indicar que uma posição existe mas não tem quantidade. Sem esse marcador, 205 e 25 se confundiriam. Números negativos são outro assunto, que você verá mais adiante.
Questão 5 intermediária
A hora ter 60 minutos e a circunferência ter 360 graus são heranças de qual povo?
Dos egípcios.
Dos romanos.
Dos maias.
Dos babilônios, que agrupavam em base 60.
Dos babilônios. Eles agrupavam de 60 em 60 porque 60 tem muitos divisores (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), o que facilita repartir. Note que 360 = 6 × 60.
Questão 6 avançada
Um povo hipotético agrupa de oito em oito . Quantos objetos existem se eles registram "3 grupos e 5 soltos"?
35 objetos
29 objetos
13 objetos
40 objetos
29 objetos. Cada grupo vale 8, então 3 × 8 = 24; somando os 5 soltos, 29. A armadilha é ler "35" no automático — mas isso só valeria se a base fosse dez. A quantidade é a mesma; o que muda é como se registra.
Valor posicional
Capítulo 2 · O sistema decimal por dentro
Cada casa vale dez vezes a vizinha
Nosso sistema tem duas características, e todo o resto decorre delas.
Primeira: a base é dez
Agrupamos de dez em dez. Dez unidades formam uma dezena; dez dezenas, uma centena; dez centenas, uma unidade de milhar.
Segunda: a posição carrega o valor
No número 555 , o algarismo 5 aparece três vezes e vale coisas diferentes:
5 5 5
│ │ └── 5 unidades ......... 5
│ └──── 5 dezenas ........ 50
└────── 5 centenas ..... 500
500 + 50 + 5 = 555
Cada casa vale dez vezes a casa à sua direita. Andando para a esquerda, multiplica por dez; para a direita, divide por dez.
Onde isso aparece nas suas contas
Quando você soma 27 + 5 e "vai um", está trocando dez unidades por uma dezena. Quando divide e "abaixa o próximo algarismo", está descendo uma casa — dividindo por dez. Os algoritmos não são regras arbitrárias: são a estrutura do sistema em movimento.
Ordens e classes
Capítulo 2 · O sistema decimal por dentro
Ordens, classes e o ponto
Cada posição chama-se ordem . As ordens se agrupam de três em três formando classes — e é por isso que usamos o ponto ao escrever números grandes: ele separa classes, não é enfeite.
CLASSE DAS/DOS MILHARES
CLASSE DAS/DOS UNIDADES
7 Quadro de valor posicional. O zero (em destaque) é o que impede 45.207 de virar 4.527.
Classe Ordens Valores
Unidades simples
U, D, C
1, 10, 100
Milhares
UM, DM, CM
1.000, 10.000, 100.000
Milhões
UMi, DMi, CMi
1.000.000 …
Lendo classe por classe
A leitura fica simples quando você lê cada classe inteira e depois diz o nome dela:
45.207
│ └── 207 → "duzentos e sete"
└─────── 45 → "quarenta e cinco mil"
quarenta e cinco mil, duzentos e sete
Não se lê algarismo por algarismo. Lê-se o bloco.
Compor e decompor
Capítulo 2 · O sistema decimal por dentro
Abrir e fechar um número
Decompor é abrir o número na soma dos valores de cada casa. Compor é o caminho de volta.
45.207 = 40.000 + 5.000 + 200 + 0 + 7
Repare que a casa das dezenas contribui com zero. Ela não desaparece — está lá, ocupando lugar.
Compondo: o caminho inverso
Dada a decomposição 60.000 + 300 + 9, monte casa por casa e preencha com zero o que não aparece:
DM UM C D U
6 0 3 0 9 → 60.309
↑ ↑
nada nada
na casa na casa
O erro mais comum
Esquecer os zeros das casas ausentes e escrever 639 ou 6.309 . Antes de fechar, conte as casas: 60.000 tem cinco algarismos, então o resultado precisa ter cinco.
Decomposições que não são "a" decomposição
Existe mais de um jeito de abrir um número, e todos são válidos:
340 = 300 + 40
340 = 3 centenas + 4 dezenas
340 = 34 dezenas
340 = 200 + 140
A última parece esquisita, mas é exatamente o que você faz ao "pedir emprestado" numa subtração.
Comparar e ordenar
Capítulo 2 · O sistema decimal por dentro
Qual é maior?
Com valor posicional, comparar vira um procedimento seguro:
Procedimento · comparar dois naturais
Conte os algarismos. Mais algarismos significa maior — desde que não haja zeros à esquerda. 1.000 > 999.
Se tiverem a mesma quantidade , compare da esquerda para a direita, casa a casa.
Pare na primeira diferença. Quem tiver o algarismo maior nessa casa é o maior número — o resto não importa.
8.999 vs 9.001
↑ ↑
8 < 9 → 8.999 < 9.001
Os três noves não salvam o primeiro: a casa do milhar decide antes.
Ordem crescente e decrescente
Crescente vai do menor para o maior; decrescente , do maior para o menor.
Dados: 1.203 980 1.230 99
Crescente: 99 < 980 < 1.203 < 1.230
Cuidado com 1.203 e 1.230: mesma quantidade de algarismos, começam igual. A diferença aparece só na casa das dezenas — 0 contra 3.
A reta numérica
Capítulo 2 · O sistema decimal por dentro
Todo número tem um lugar
A reta numérica torna visível o que "maior" e "menor" significam: à direita é maior, à esquerda é menor. Não é uma convenção decorada — é uma imagem que você pode conferir.
2,5 Entre dois inteiros sempre cabem outros números. O 2,5 fica exatamente no meio de 2 e 3.
O que a reta revela
Entre 2 e 3 não existe "nada" — existe uma infinidade de números.
A distância entre dois números é a diferença entre eles: de 2 a 5 há 3 unidades.
Números naturais são pontos espaçados ; os racionais preenchem os intervalos.
Localizando decimais
Para achar 3,4 na reta, divida o espaço entre 3 e 4 em dez partes iguais e conte quatro:
3,4 Cada intervalo entre inteiros pode ser dividido em dez décimos.
Conexão com o capítulo 1
Dividir cada intervalo em dez é a mesma lógica de agrupar de dez em dez — só que no sentido contrário. À esquerda da vírgula, multiplicamos por dez; à direita, dividimos. O sistema é o mesmo, espelhado.
Décimos e centésimos
Capítulo 2 · O sistema decimal por dentro
Do outro lado da vírgula
A vírgula marca onde terminam as unidades inteiras e começam as partes. A regra "cada casa vale dez vezes a vizinha da direita" continua valendo — sem exceção.
Casa Nome Vale Exemplo
1ª após a vírgula
Décimos
1/10 = 0,1
0,7 = 7 décimos
2ª após a vírgula
Centésimos
1/100 = 0,01
0,25 = 25 centésimos
3ª após a vírgula
Milésimos
1/1000 = 0,001
0,004 = 4 milésimos
0,7 = 7 décimos Sete das dez partes em que o inteiro foi dividido.
Decompondo um decimal
12,45 = 10 + 2 + 0,4 + 0,05
= 1 dezena + 2 unidades + 4 décimos + 5 centésimos
Cuidado com uma armadilha
Muita gente lê 0,7 como "menor que 0,25 porque 7 é menor que 25". Errado: 0,7 são sete décimos e 0,25 são vinte e cinco centésimos . Igualando as casas, 0,7 = 0,70, e 70 centésimos > 25 centésimos. Compare sempre casa com casa, nunca algarismo com algarismo.
Erros comuns
Capítulo 2 · O sistema decimal por dentro
Onde quase todo mundo escorrega
✕ Confusão comum
Ler 45.207 como "quatro mil e cinco mil, duzentos e sete", quebrando a classe.
Parece certo porque se lê algarismo por algarismo.
✓ Forma correta
"Quarenta e cinco mil, duzentos e sete". Lê-se a classe inteira (45) e só então o nome dela.
A classe é um bloco, não algarismos soltos.
✕ Confusão comum
Escrever "quatrocentos e sete" como 4007 .
Ouve-se "quatrocentos" e depois "sete", e escreve-se na ordem falada.
✓ Forma correta
407 . Quatrocentos ocupa a casa das centenas, o 7 as unidades, e as dezenas ficam com zero.
A fala não indica quantas casas existem; o quadro posicional indica.
✕ Confusão comum
Dizer que 0,25 > 0,7 porque 25 > 7.
Compara-se o que está depois da vírgula como se fosse inteiro.
✓ Forma correta
0,7 = 0,70 = 70 centésimos > 25 centésimos. Logo 0,7 > 0,25.
Igualar as casas antes de comparar resolve sempre.
✕ Confusão comum
Ao compor 60.000 + 300 + 9, escrever 639.
Junta-se só os algarismos que aparecem.
✓ Forma correta
60.309 . As casas sem valor recebem zero.
Conferir a quantidade de algarismos evita o erro.
Pratique — parte 1
Capítulo 2 · Prática
Pratique o que leu
Questão 7 básica
No número 3.804, qual é o valor do algarismo 8?
8 unidades
80 unidades
800 unidades
8.000 unidades
800 unidades. Decompondo: 3.804 = 3.000 + 800 + 0 + 4. O 8 está na casa das centenas. Repare que a casa das dezenas tem zero.
Questão 8 básica
Qual número corresponde à decomposição 60.000 + 300 + 9?
63.009
60.309
6.309
639
60.309. Monte casa por casa: 6 dezenas de milhar, 0 unidades de milhar, 3 centenas, 0 dezenas, 9 unidades. As casas ausentes na decomposição recebem zero — é exatamente onde o erro costuma acontecer.
Questão 9 intermediária
Colocando 1.203, 980, 1.230 e 99 em ordem crescente, qual é a sequência correta?
99, 980, 1.230, 1.203
980, 99, 1.203, 1.230
99, 980, 1.203, 1.230
1.230, 1.203, 980, 99
99, 980, 1.203, 1.230. Primeiro pela quantidade de algarismos (99 tem dois, 980 tem três, os outros quatro). Entre 1.203 e 1.230, compare casa a casa: milhar e centena são iguais, a decisão vem nas dezenas — 0 < 3. A opção D está em ordem decrescente.
Pratique — parte 2
Capítulo 2 · Prática
Pratique o que leu
Questão 10 intermediária
Como se escreve o número "quatrocentos e sete"?
4007
470
4.070
407
407. Quatrocentos ocupa a casa das centenas e o 7 a das unidades; as dezenas ficam com zero. Escrever 4007 é seguir a ordem da fala em vez da estrutura posicional.
Questão 11 intermediária
Qual das comparações abaixo está correta?
0,25 > 0,7
0,7 > 0,25
0,25 = 0,7
0,07 > 0,7
0,7 > 0,25. Iguale as casas: 0,7 = 0,70, ou seja, 70 centésimos, contra 25 centésimos. Comparar "25 contra 7" como se fossem inteiros é a armadilha clássica dos decimais.
Questão 12 avançada
Quantas dezenas completas há no número 3.470?
7 dezenas
34 dezenas
347 dezenas
3.470 dezenas
347 dezenas. A pergunta não é "qual algarismo está na casa das dezenas" (esse é o 7), mas quantos grupos de dez cabem no número inteiro: 3.470 ÷ 10 = 347. Distinguir "algarismo da casa" de "quantidade total de grupos" é um passo importante — e é a mesma ideia do agrupamento do pastor.
O que cada operação responde
Capítulo 3 · Operar com números naturais
Cada operação responde um tipo de pergunta
Você já sabe fazer as quatro operações. O que costuma faltar é saber quando usar cada uma — e isso depende de reconhecer a pergunta escondida no problema.
Operação Responde Exemplo
Adição
Juntar; acrescentar
12 livros e mais 7 livros
Subtração
Tirar; comparar; completar
Quanto falta de 12 para 30?
Multiplicação
Somar parcelas iguais; combinar; área
6 caixas de 12 unidades
Divisão
Repartir igualmente; quantas vezes cabe
72 balas para 8 crianças
A subtração tem três caras
Este ponto confunde muita gente, porque as três situações parecem diferentes e usam a mesma conta:
Tirar: "Tinha 30 figurinhas e dei 12." → 30 − 12
Comparar: "Ana tem 30, Bruno tem 12. Quantas Ana tem a mais?" → 30 − 12
Completar: "Tenho 12 e preciso de 30. Quanto falta?" → 30 − 12
Uma dica que economiza erro
Antes de calcular, diga em voz alta o que a pergunta quer. "Quanto falta" e "quantos a mais" são subtração, mesmo quando a palavra "tirar" não aparece em lugar nenhum do enunciado.
Multiplicação e divisão
Capítulo 3 · Operar com números naturais
Três sentidos da multiplicação
1. Parcelas iguais
6 caixas com 12 unidades cada: 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 6 × 12 = 72 .
2. Configuração retangular
Uma sala com 6 fileiras de 4 carteiras tem 6 × 4 = 24 carteiras. Aqui a multiplicação conta uma área organizada em linhas e colunas — a mesma ideia que reaparece no cálculo de áreas.
3. Combinatória
Com 3 camisas e 4 calças, quantos conjuntos diferentes dá para montar? Cada camisa combina com cada calça: 3 × 4 = 12 conjuntos.
Por que isso importa
São três situações bem diferentes resolvidas pela mesma operação. Quem só conhece o sentido de "parcelas iguais" trava diante de um problema de combinação — e é comum concluir, erradamente, que "não sabe multiplicar".
Divisão: repartir ou caber
Repartir: "72 balas para 8 crianças, igualmente." → 72 ÷ 8 = 9 para cada uma.
Quantas vezes cabe: "Cabem quantos pacotes de 8 em 72 balas?" → 9 pacotes.
O resto também informa
47 ÷ 5
47 │ 5
−45 │ 9
───
2 ← resto
conferindo: 9 × 5 + 2 = 45 + 2 = 47 ✓
O resto é sempre menor que o divisor . Se der 5 ou mais, o quociente ainda pode crescer — sinal de que a conta não terminou.
Expressões numéricas
Capítulo 3 · Operar com números naturais
A ordem não é opcional
Quando várias operações aparecem juntas, a ordem em que você resolve muda o resultado. Por isso existe uma convenção universal:
1º parênteses ( ), dos mais internos para fora
2º potenciação
3º multiplicação e divisão, da esquerda para a direita
4º adição e subtração, da esquerda para a direita
Veja a diferença
2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14
(2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
São problemas diferentes, e os parênteses é que dizem qual é qual.
Exemplo resolvido · expressão com quatro etapas
Calcule: 20 − 3 × (2 + 4) ÷ 2
Parênteses primeiro. 2 + 4 = 6
20 − 3 × 6 ÷ 2
Multiplicação e divisão, da esquerda para a direita. Primeiro 3 × 6 = 18, porque aparece antes.
20 − 18 ÷ 2
Agora 18 ÷ 2 = 9.
20 − 9
Subtração por último.
20 − 9 = 11
Atenção ao "esquerda para a direita"
Multiplicação e divisão têm a mesma prioridade — não se faz toda multiplicação antes de toda divisão. Em 12 ÷ 3 × 2, resolve-se 12 ÷ 3 = 4 primeiro e depois 4 × 2 = 8 . Fazer 3 × 2 antes daria 2, que está errado.
Potenciação
Capítulo 3 · Operar com números naturais
A multiplicação que se repete
Assim como a multiplicação encurta uma soma de parcelas iguais, a potenciação encurta uma multiplicação de fatores iguais.
base
expoente
2·2·2·2·2 = 32
o 2 aparece 5 vezes A base é quem se repete; o expoente diz quantas vezes.
2·2·2·2·2 = 2⁵ = 32
3·3·3 = 3³ = 27
10·10·10 = 10³ = 1.000
Como se lê
5² — "cinco ao quadrado" (ou elevado a 2) = 25
5³ — "cinco ao cubo" (ou elevado a 3) = 125
5⁴ — "cinco elevado à quarta" = 625
"Quadrado" e "cubo" vêm da geometria: 5² é a área de um quadrado de lado 5; 5³ é o volume de um cubo de aresta 5.
✕ Confusão comum
Calcular 2⁵ como 2 × 5 = 10.
Os dois números estão ali, e multiplicar é o reflexo automático.
✓ Forma correta
2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32 .
O expoente conta quantas vezes a base aparece; ele não é um fator.
Dois casos especiais
Qualquer número elevado a 1 é ele mesmo: 7¹ = 7 (o 7 aparece uma vez só). E qualquer número diferente de zero elevado a 0 dá 1 — você verá o porquê nos próximos anos.
Potências de dez
Capítulo 3 · Operar com números naturais
O capítulo 2 reaparece aqui
As potências de dez são exatamente as casas do valor posicional. Isto não é coincidência — é o sistema decimal escrito em outra linguagem.
Potência Valor Casa Zeros
10¹
dezena
10²
100
centena
10³
1.000
unidade de milhar
10⁴
10.000
dezena de milhar
O expoente diz quantos zeros acompanham o 1. Isso torna imediato escrever números grandes.
Decomposição em potências de dez
45.207 = 4·10⁴ + 5·10³ + 2·10² + 0·10¹ + 7
= 40.000 + 5.000 + 200 + 0 + 7
É a mesma decomposição da página 12, agora com o nome matemático de cada casa.
Estimar antes de calcular
Potências de dez servem para conferir a ordem de grandeza de um resultado — um hábito que pega erros grosseiros:
297 × 4 ≈ 300 × 4 = 1.200
resultado exato: 1.188 ✓ (bem perto da estimativa)
Se sua conta desse 118 ou 11.880, a estimativa acusaria o erro na hora.
Pratique — parte 1
Capítulo 3 · Prática
Pratique o que leu
Questão 13 básica
Qual é o valor da expressão 5 + 2 × 6?
17. A multiplicação vem antes: 2 × 6 = 12, depois 5 + 12 = 17. Quem resolve da esquerda para a direita chega a 42, que seria o valor de (5 + 2) × 6.
Questão 14 básica
Quanto vale 3⁴?
81. O 3 aparece quatro vezes: 3·3·3·3. Fazendo aos pares, 3·3 = 9 e 9·9 = 81. A opção 12 vem de multiplicar 3 × 4, que é o erro mais comum com potências.
Questão 15 intermediária
Numa divisão, o divisor é 5 e o resto é 2. Se o quociente é 9, qual é o dividendo?
47. O dividendo é quociente × divisor + resto: 9 × 5 + 2 = 45 + 2 = 47. A opção 45 esquece de somar o resto.
Pratique — parte 2
Capítulo 3 · Prática
Pratique o que leu
Questão 16 intermediária
Uma escola comprou 8 caixas com 24 cadernos cada e distribuiu 150 cadernos entre os alunos. Quantos sobraram?
32 cadernos
42 cadernos
192 cadernos
126 cadernos
42 cadernos. Primeiro o total: 8 × 24 = 192. Depois a sobra: 192 − 150 = 42. A opção 192 para no meio do caminho, respondendo apenas quantos foram comprados — o erro clássico em problemas de duas etapas.
Questão 17 intermediária
Com 3 camisas e 4 calças diferentes, quantos conjuntos distintos podem ser montados?
7 conjuntos
12 conjuntos
34 conjuntos
1 conjunto
12 conjuntos. Cada uma das 3 camisas combina com cada uma das 4 calças: 3 × 4 = 12. Somar (3 + 4 = 7) responderia "quantas peças de roupa existem", que é outra pergunta.
Questão 18 avançada
Escrevendo 30.000 como um número multiplicado por uma potência de dez, qual é a forma correta?
3 × 10³
30 × 10⁴
3 × 10⁴
3 × 10⁵
3 × 10⁴. Como 10⁴ = 10.000, temos 3 × 10.000 = 30.000. A opção 3 × 10³ daria 3.000, dez vezes menos. Conferir a ordem de grandeza antes de responder evita esse tipo de erro.
Desafio Neuren
Fechamento
Desafio Neuren
Questão de olimpíada
As vagas do estacionamento
As vagas de um estacionamento estão numeradas de 1 a 99 . Todas as vagas com número ímpar estão ocupadas, e as demais estão vazias. Quantas vagas estão ocupadas?
Tente antes de abrir. Uma dica: não vale a pena contar de um em um — procure a estrutura.
Ver resolução comentada
Quem são os ímpares. São 1, 3, 5, 7, … até 99, alternando com os pares.
Caminho 1 — emparelhar. De 1 a 99 há 99 números. Junte-os em duplas consecutivas: (1,2), (3,4), (5,6)… Cada dupla contém exatamente um ímpar. Formam-se 49 duplas completas (de 1 a 98) e sobra o 99, que também é ímpar.
49 duplas → 49 ímpares
+ o 99 sozinho → 1 ímpar
50 ímpares
Caminho 2 — usar a estrutura. Todo ímpar pode ser escrito como 2n − 1. Fazendo 2n − 1 = 99, temos 2n = 100 e n = 50. Ou seja, 99 é o quinquagésimo ímpar.
Conferindo num caso pequeno. De 1 a 9 os ímpares são 1, 3, 5, 7, 9 — cinco deles, e 9 = 2·5 − 1. O padrão se confirma.
Resposta: 50 vagas ocupadas.
Por que isso fecha o bimestre: o segundo caminho trocou uma contagem por uma estrutura — o mesmo salto que fez o sistema posicional vencer o romano. Procurar padrão em vez de contar item por item é a ideia que atravessa estes três capítulos.
Problema adaptado de: OBMEP 2022 — 1ª Fase. Prova pública, IMPA/MEC.
O que lembrar
Fechamento
O que você precisa lembrar
Conceitos essenciais
Todo sistema de numeração resolve o mesmo problema: representar muito com poucos símbolos. A saída é agrupar .
Nosso sistema é decimal (base dez) e posicional (o lugar determina o valor).
Cada casa vale dez vezes a casa à direita — antes e depois da vírgula.
O zero marca casa vazia; sem ele o sistema posicional não funcionaria.
Ordens agrupam-se de três em três formando classes ; o ponto separa classes.
Na reta numérica , à direita é maior. Entre dois inteiros cabem infinitos números.
Ordem das operações: parênteses → potenciação → multiplicação e divisão → adição e subtração.
Multiplicação e divisão têm a mesma prioridade; resolve-se da esquerda para a direita .
Potenciação : a base se repete tantas vezes quanto diz o expoente.
Numa divisão: dividendo = quociente × divisor + resto , e o resto é sempre menor que o divisor.
Erros a evitar
Esquecer o zero das casas vazias ao compor um número.
Comparar decimais algarismo a algarismo (0,25 > 0,7 está errado).
Resolver expressões da esquerda para a direita ignorando a precedência.
Calcular 2⁵ como 2 × 5.
Parar no meio de um problema de duas etapas.
Confundir o algarismo da casa das dezenas com o total de dezenas do número.
Autoavaliação e próximo passo
Fechamento
Você consegue explicar?
Responda em voz alta, para você mesmo. Se travar, o número indica a página para onde voltar.
Por que agrupar resolveu o problema do pastor? (p. 3)
Por que era difícil multiplicar com algarismos romanos? (p. 5)
Por que o zero foi essencial para o sistema posicional? (p. 6)
Qual a diferença entre a quantidade e a representação dela? (p. 7)
Por que o mesmo algarismo vale coisas diferentes em 555? (p. 10)
Qual a diferença entre ordem e classe? (p. 11)
Por que 0,7 é maior que 0,25? (p. 15)
Quais são os três sentidos da multiplicação? (p. 19)
Por que 12 ÷ 3 × 2 dá 8 e não 2? (p. 20)
Que relação existe entre potências de dez e valor posicional? (p. 22)
Para onde seguir
O 2º bimestre continua exatamente daqui. Os próximos temas são fluxogramas (organizar um processo em etapas), comprimento e massa e medidas de tempo .
A ponte é mais direta do que parece: medir é comparar uma grandeza com uma unidade e contar quantas vezes ela cabe — agrupamento outra vez. A régua é a reta numérica com outro nome, e o relógio é a base 60 dos babilônios que você viu na página 4.
Antes de seguir
Se alguma das dez perguntas acima travou, vale voltar à página indicada. O 2º bimestre assume que valor posicional está firme.
neuren
Você chegou ao fim do 1º bimestre.
Sobre este material. Texto, exemplos, ilustrações e questões originais, produzidos pela equipe pedagógica da Neuren. As fontes abaixo serviram como referência de escopo curricular, sequência didática e calibragem de dificuldade — nenhum trecho foi reproduzido.
Currículo em Ação — Matemática, 6º ano, Vol. 1 (SEE-SP): referência de sequência das Situações de Aprendizagem.
OBMEP 2022, 1ª Fase (IMPA/MEC, prova pública): origem do Desafio Neuren.
BNCC : habilidades EF06MA01, EF06MA02, EF06MA03.
Biblioteca Neuren · Matemática 6º ano · 1º Bimestre · v2.0