Formas, ângulos e sólidos
Matemática · 6º ano · 4º Bimestre · BNCC EF06MA16, EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA23
neuren
Apostila · Ensino Fundamental
Formas, ângulos
e sólidos
Matemática · 6º ano · 4º Bimestre
(2, 3)
45°
6 faces, 12 arestas
Capítulos 3
Leitura ~70 min
Questões 12
BNCC EF06MA16, 18, 19, 20, 23
O que você vai aprender
Abertura do bimestre
Números para descrever o espaço
Nos três primeiros bimestres a Matemática tratou de quantidade : quanto é, quanto sobra, quanto por cento. Este bimestre muda a pergunta para onde e que forma .
E a descoberta central da geometria é esta: forma também se mede . Um "canto" tem tamanho. Uma posição pode ser escrita com dois números. Um sólido pode ser desmontado numa figura plana. Nada disso é opinião — tudo tem regra.
O caminho do bimestre
Cap. Do que trata BNCC
O plano cartesiano: dizer onde com dois números
EF06MA16
Ângulos: medir a abertura entre duas direções
EF06MA19 · EF06MA20
Polígonos e sólidos: classificar e planificar
EF06MA18 · EF06MA23
Uma dica de estudo
Geometria se aprende desenhando , não lendo. Tenha papel quadriculado, régua e, se possível, transferidor por perto. Cada vez que aparecer uma figura aqui, desenhe a sua antes de continuar — mesmo torta. O erro no seu desenho ensina mais do que a figura pronta na tela.
Dois números, um lugar
Capítulo 1 · Plano cartesiano
Como dizer exatamente onde
Se alguém pergunta onde você está numa sala e você responde "perto da janela", a informação é vaga. Se responde "terceira fileira, segunda carteira", é exata. Duas informações bastam — e é essa a ideia inteira do plano cartesiano.
Traçam-se dois eixos numerados que se cruzam: o horizontal, chamado eixo x (ou das abscissas), e o vertical, eixo y (ou das ordenadas). O cruzamento é a origem , o ponto (0, 0).
Qualquer ponto do plano é escrito como um par ordenado : (x, y) . Primeiro quanto se anda na horizontal, depois quanto se sobe na vertical.
"Ordenado" é a palavra-chave
O par é chamado de ordenado porque a ordem importa: (2, 5) e (5, 2) são pontos diferentes . É o mesmo princípio do valor posicional que você viu no 1º bimestre — 52 e 25 usam os mesmos algarismos e valem coisas diferentes. Posição carrega significado.
Marcando um ponto
Para localizar (3, 4): parta da origem, ande 3 unidades para a direita no eixo x, depois 4 unidades para cima no eixo y. Onde parar, esse é o ponto.
Uma regra prática: primeiro se anda, depois se sobe — na mesma ordem em que se lê o par.
Onde isso aparece na vida
Batalha naval usa exatamente essa ideia (letra e número em vez de dois números). O GPS do celular também: latitude e longitude são um par ordenado sobre a superfície da Terra — assunto que você viu em Geografia no 1º bimestre. Uma planilha localiza células por coluna e linha. E toda tela de computador desenha imagens marcando pontos por coordenadas.
Pratique — parte 1
Capítulo 1 · Prática
Pratique o que leu
Questão 1 básica
No par ordenado (7, 2), o que representa o número 7?
A distância percorrida na horizontal, no eixo x
A altura no eixo y
A distância até a origem
O número de casas do gráfico
A posição no eixo x. No par ordenado, o primeiro número é sempre o horizontal e o segundo o vertical: primeiro se anda, depois se sobe.
Questão 2 básica
Os pontos (4, 1) e (1, 4) estão no mesmo lugar?
Sim, porque usam os mesmos números
Não, porque a ordem dos números muda a posição
Sim, desde que estejam no mesmo eixo
Só se o gráfico for quadrado
São pontos diferentes. (4, 1) anda 4 e sobe 1; (1, 4) anda 1 e sobe 4. Por isso o par se chama ordenado — a mesma lógica de 52 e 25 valerem coisas diferentes.
Questão 3 intermediária
Um ponto tem coordenadas (0, 5). Onde ele está?
Na origem
Sobre o eixo x, a 5 unidades da origem
Sobre o eixo y, a 5 unidades acima da origem
Fora do plano cartesiano
Sobre o eixo y. Como o x é 0, não se anda nada na horizontal: o ponto fica em cima do próprio eixo vertical, 5 unidades acima da origem.
Questão 4 avançada
Três vértices de um quadrado são (1, 1), (5, 1) e (1, 5). Qual é o quarto?
(5, 5)
(0, 0)
(6, 6)
(5, 0)
(5, 5). De (1,1) a (5,1) o lado mede 4 na horizontal; de (1,1) a (1,5), 4 na vertical. Para fechar o quadrado, o quarto vértice precisa alinhar-se com (5,1) na vertical e com (1,5) na horizontal — ou seja, x = 5 e y = 5.
Medir uma abertura
Capítulo 2 · Ângulos
Ângulo não é tamanho de lado
Um ângulo é a abertura entre duas semirretas que partem do mesmo ponto. Esse ponto é o vértice ; as semirretas são os lados .
O erro mais comum do 6º ano
Muita gente acha que um ângulo com lados mais compridos é "maior". Não é. O que mede o ângulo é o quanto uma semirreta está girada em relação à outra. Duas portas abertas no mesmo tanto formam o mesmo ângulo, mesmo que uma seja o dobro da largura da outra. Se estender os lados de um ângulo com a régua, a medida não muda.
A unidade: o grau
Uma volta completa foi dividida em 360 partes , e cada parte é um grau (1°). O número 360 vem dos babilônios, que contavam em base 60 e escolheram um número com muitos divisores — dá para dividir 360 por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12... o que facilita muito na hora de repartir a volta.
Classificação
Nome Medida Onde aparece
Agudo
menor que 90°
ponta de uma fatia de pizza
Reto
exatamente 90°
quina da parede, canto da folha
Obtuso
entre 90° e 180°
encosto de cadeira reclinado
Raso
exatamente 180°
uma linha reta
Duas relações que resolvem muita questão
Complementares — dois ângulos que somam 90° . Se um mede 30°, o complementar mede 60°.
Suplementares — dois ângulos que somam 180° . Se um mede 130°, o suplementar mede 50°.
Para não confundir: C de c omplementar vem antes de S de s uplementar no alfabeto, e 90 vem antes de 180.
Usando o transferidor
Capítulo 2 · Ângulos
Como medir sem errar
O transferidor tem duas escalas numeradas em sentidos opostos — e é justamente aí que quase todo mundo erra. O procedimento correto:
Passo O que fazer
Encaixe o centro do transferidor exatamente no vértice
Alinhe um dos lados do ângulo com a linha do zero
Veja onde o outro lado cruza a escala
Use a escala que começa no zero do lado que você alinhou
A conferência que salva
Antes de escrever a resposta, olhe o ângulo . Ele parece menor que um canto de folha? Então a medida tem que ser menor que 90°. Se o transferidor indicou 130°, você leu na escala errada — a resposta certa é 50°. Essa checagem de dois segundos elimina o erro mais frequente da geometria.
Como desenhar um ângulo de medida dada
Para construir um ângulo de 65°: trace uma semirreta e marque o vértice. Encaixe o transferidor com o centro no vértice e o zero sobre a semirreta. Marque um ponto na escala em 65°. Ligue o vértice a esse ponto. Pronto.
Ângulos numa figura
Duas relações valiosas: em qualquer triângulo , a soma dos três ângulos internos é sempre 180° — sem exceção, seja qual for o formato. E quando duas retas se cruzam, os ângulos opostos pelo vértice (os que ficam "de frente" um para o outro) têm sempre a mesma medida.
Com essas duas regras, conhecendo dois ângulos de um triângulo você descobre o terceiro por subtração: 180° menos a soma dos dois conhecidos.
Pratique — parte 2
Capítulo 2 · Prática
Pratique o que leu
Questão 5 básica
Dois ângulos têm a mesma abertura, mas os lados de um são o dobro do comprimento dos do outro. O que se conclui?
O de lados maiores mede o dobro
Os dois têm a mesma medida em graus
O de lados menores é sempre agudo
Não é possível comparar
Mesma medida. Ângulo mede abertura, não comprimento. Estender os lados com a régua não altera em nada o quanto uma semirreta está girada em relação à outra.
Questão 6 básica
Qual é o complementar de um ângulo de 35°?
145°
65°
55°
325°
55°. Complementares somam 90°: 90 − 35 = 55. A opção 145° seria o suplementar (180 − 35), que é a confusão mais comum.
Questão 7 intermediária
Um triângulo tem ângulos de 47° e 68°. Quanto mede o terceiro?
65°
115°
85°
45°
65°. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°. Então 47 + 68 = 115, e 180 − 115 = 65. A opção 115° é a soma dos dois primeiros — um erro de parar no meio da conta.
Questão 8 avançada
Ao medir um ângulo visivelmente menor que o canto de uma folha, o transferidor indicou 145°. O que aconteceu?
O ângulo é obtuso mesmo, a impressão visual engana
A leitura foi feita na escala errada; o valor correto é 35°
O transferidor está quebrado
Faltou estender os lados do ângulo
Escala errada: 180 − 145 = 35°. Um ângulo menor que o canto da folha é menor que 90° por definição. Conferir se o resultado bate com o que se vê é a checagem que evita esse erro.
Polígonos: as regras do clube
Capítulo 3 · Formas e sólidos
O que é preciso para ser polígono
Um polígono é uma figura plana fechada formada só por segmentos de reta. Três condições, todas obrigatórias:
Condição Quem fica de fora
Plana
um cubo não é polígono — é sólido
Fechada
uma linha em zigue-zague aberta não é
Só segmentos de reta
o círculo não é — o contorno é curvo
Nomes por número de lados
Lados Nome Lados Nome
triângulo
heptágono
quadrilátero
octógono
pentágono
eneágono
hexágono
decágono
Num polígono, o número de lados , de vértices e de ângulos internos é sempre o mesmo. Um hexágono tem 6 de cada.
Regular e irregular
Um polígono é regular quando tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. As duas coisas, não uma só. Um retângulo tem os quatro ângulos iguais, mas os lados não são todos iguais — logo, não é regular. Um losango tem os quatro lados iguais, mas os ângulos não — também não é regular. O quadrado tem as duas coisas: é o quadrilátero regular.
Por que a abelha escolheu o hexágono
Só três polígonos regulares conseguem cobrir um plano inteiro sem deixar buraco nem sobrepor: o triângulo, o quadrado e o hexágono. Entre os três, o hexágono é o que cerca a maior área usando o menor comprimento de parede. Uma colmeia hexagonal guarda mais mel gastando menos cera — a abelha resolveu um problema de otimização sem saber que estava fazendo isso.
Sólidos e planificação
Capítulo 3 · Formas e sólidos
Desmontar para entender
Sólidos geométricos ocupam espaço — têm três dimensões. Dividem-se em dois grandes grupos, e o critério é simples: rola ou não rola?
Grupo Como são Exemplos
Poliedros
só faces planas (polígonos)
cubo, prisma, pirâmide
Corpos redondos
têm superfície curva
cilindro, cone, esfera
As três palavras de um poliedro
Face — cada superfície plana. Aresta — o segmento onde duas faces se encontram. Vértice — o ponto onde as arestas se encontram.
Um cubo tem 6 faces , 12 arestas e 8 vértices . Vale conferir num dado ou numa caixa: conte as superfícies, depois as quinas, depois os cantos pontudos.
Planificação
Planificar é abrir o sólido e deixá-lo deitado no plano — é exatamente o que se faz ao desmontar uma caixa de papelão. A figura plana resultante é a planificação.
A planificação do cubo tem 6 quadrados ligados. Curiosamente, existem 11 arranjos diferentes de 6 quadrados que dobram e formam um cubo — e muitos outros arranjos que não formam. Vale testar em papel: recortar, dobrar e ver qual fecha.
Para que serve planificar
Toda embalagem que você já viu foi projetada assim: desenha-se a planificação numa folha de papelão, corta-se, vinca-se e dobra-se. Calcular a área da planificação é calcular quanto material se gasta — e é por isso que a indústria de embalagens se importa tanto com geometria. Menos área, menos custo, menos resíduo.
Prisma e pirâmide
O prisma tem duas bases iguais e paralelas, ligadas por faces retangulares. O nome vem da base: base triangular, prisma triangular; base hexagonal, prisma hexagonal. O cubo é um prisma de base quadrada.
A pirâmide tem uma base só, e todas as outras faces são triângulos que se encontram num único ponto, o ápice. Também recebe o nome pela base: pirâmide de base quadrada, pirâmide de base triangular.
Pratique — parte 3
Capítulo 3 · Prática
Pratique o que leu
Questão 9 básica
Por que o círculo não é considerado um polígono?
Porque não é uma figura fechada
Porque seu contorno é curvo, e polígono só admite segmentos de reta
Porque não tem vértices suficientes
Porque não é uma figura plana
O contorno é curvo. O círculo é plano e fechado — cumpre duas das três condições. Falha na terceira, que exige apenas segmentos de reta.
Questão 10 intermediária
Por que um retângulo (não quadrado) não é um polígono regular?
Porque seus ângulos são diferentes entre si
Porque tem os quatro ângulos iguais, mas não os quatro lados iguais — e regular exige as duas coisas
Porque tem apenas quatro lados
Porque não pode ser desenhado com régua
Faltam os lados iguais. Regular exige lados e ângulos todos iguais. O retângulo cumpre metade; o losango cumpre a outra metade; só o quadrado cumpre as duas.
Questão 11 intermediária
Quantas faces, arestas e vértices tem um cubo?
6 faces, 12 arestas, 8 vértices
8 faces, 6 arestas, 12 vértices
6 faces, 8 arestas, 12 vértices
12 faces, 8 arestas, 6 vértices
6, 12 e 8. Dá para conferir num dado: seis superfícies, doze quinas onde duas faces se encontram, oito cantos pontudos.
Questão 12 avançada
Uma fábrica quer reduzir o gasto de papelão por caixa sem mudar o volume. Que grandeza da planificação ela deve tentar diminuir?
O número de vértices do sólido
A área total da planificação, que corresponde ao material usado
O número de arestas
A altura da caixa, apenas
A área da planificação. Planificar é abrir o sólido no plano; a área dessa figura é exatamente a quantidade de material da embalagem. Manter o volume e reduzir a área é um problema real de projeto — e é geometria pura.
Desafio Neuren
Fechamento
Desafio Neuren
Projetar com geometria
A embalagem da cantina
A cantina da escola vai lançar uma caixinha para vender biscoitos. A proposta inicial é um prisma de base quadrada com 8 cm de lado na base e 12 cm de altura.
Desenhe a planificação dessa caixa. Quantas faces terá, e qual o formato de cada uma?
Calcule a área total da planificação. (Lembre: são 2 bases quadradas de 8 × 8 e 4 faces retangulares de 8 × 12.)
Um colega sugere trocar por uma caixa de base hexagonal. Cite uma vantagem e uma desvantagem da troca, pensando em encaixe na prateleira e em material gasto .
Marque num plano cartesiano os quatro vértices da base quadrada, começando em (0, 0). Escreva os quatro pares ordenados.
Se a caixa fosse uma pirâmide de mesma base, quantas faces triangulares ela teria?
Como avaliar sua resposta
Na 2, a área é 2 × 64 + 4 × 96 = 128 + 384 = 512 cm² . Na 4, os vértices são (0,0), (8,0), (8,8) e (0,8) . Na 5, são 4 faces triangulares — uma para cada lado da base. Na 3, uma boa resposta nota que o quadrado encaixa sem sobra na prateleira (ladrilha o plano), enquanto o hexágono aproveita melhor a relação entre área e contorno, mas deixa vãos quando as caixas são alinhadas em fileiras retas.
O que ficou do ano
Fechamento do ano
Quatro bimestres de Matemática
Bim. Tema A ideia central
Números e operações
a posição do algarismo carrega significado
Processos, medidas e tempo
medir é comparar com uma unidade escolhida
Frações, decimais e porcentagem
a mesma quantidade tem várias escritas
Formas, ângulos e sólidos
forma e posição também se medem
Repare que o 1º e o 4º bimestre falam da mesma coisa por caminhos diferentes: posição significa . Em 52, a posição do 5 diz que ele vale cinquenta. Em (5, 2), a posição do 5 diz que ele é o deslocamento horizontal. Trocar a ordem muda o resultado nos dois casos.
Para o 7º ano
No ano que vem entram os números negativos, a álgebra com letras e as equações. Duas coisas deste ano seguem valendo o tempo todo: conferir se o resultado faz sentido antes de dar a resposta como final, e desenhar quando o problema for de espaço. Continuam sendo os dois hábitos que mais evitam erro.